摘要：微納米顆粒是生物膜流變的測量探針及藥物輸運的載體，研究微納米顆粒在膜上的流體力學阻力及擴散行為具有重要科學意義。已有研究針對嵌入膜內(nèi)且與膜厚度相同的圓柱體（比擬單個磷脂/蛋白質(zhì)分子）阻力系數(shù)開展研究，是一個二維流體力學問題。球形顆粒穿透膜伸入水相中，受力更加復雜。近幾年，有研究發(fā)現(xiàn)當微米顆粒在純水–空氣界面上做布朗擴散時，阻力系數(shù)有分子熱運動引起的界面擾動的貢獻，這部分阻力與表面張力成正比。本論文在亞微米顆粒–單層生物膜界面實驗中發(fā)現(xiàn)了類似現(xiàn)象。

考慮到生物膜與純水界面的不同力學特性及亞微米顆粒尺度，本文對表面張力進行了修正：一是加入膜的Maxwell黏彈性項，二是加入熱力學毛細波波數(shù)項，進而區(qū)分微觀分子納米尺度與宏觀尺度下表面張力的不同。實驗結(jié)果表明：由阻力系數(shù)擬合得到的熱力學毛細波波長恰好等于膜內(nèi)磷脂分子間的平均間距，符合界面熱力學擾動理論的描述；此外，當顆粒與膜內(nèi)微米磷脂凝聚區(qū)域粘連時，粘連體整體所受的阻力幾乎全部源自于凝聚區(qū)域，水相及膜內(nèi)對顆粒施加的阻力貢獻極小。

引言

微納米顆粒在膜上的流體力學阻力與布朗擴散組成了界面水動力學的基本模型系統(tǒng)。微納米顆粒布朗運動的擴散系數(shù)、阻力系數(shù)與膜的黏度、黏彈性等流變性質(zhì)密切相關，因此微納米顆?？勺鳛樯锬ち髯冃缘臏y量探針。相比于剪切流變儀，單個粒子跟蹤測量方法具有頻率分布廣、靈敏度高等優(yōu)勢。此外，將微納米顆粒作為生物膜藥物運輸?shù)妮d體已成為一種新興醫(yī)療手段，廣泛應用于癌癥等疾病治療。

nmε=r(μ1+μ2)/ηmf=4πηm/ln(2/εγ)D=kBT/f評估藥物輸運效率需清楚認識顆粒沿膜界面的擴散運動機理及流體力學規(guī)律。最早關于顆粒在膜界面上的水動力學理論由Saffman提出。Saffman討論了嵌入在膜內(nèi)且與膜厚度相同的圓柱體阻力系數(shù)模型，作為膜內(nèi)單個磷脂/蛋白質(zhì)分子運動的水動力學模型。在水動力學和Staffman理論中，膜被視為無限大平面鋪展的黏性液體，介于其他兩種液體界面之間。

Navier–Stokes方程對膜內(nèi)流場的刻畫有別于普通流體：首先，膜由一層或兩層磷脂分子構(gòu)成，厚度為2～5，理論假設膜內(nèi)垂直方向上的剪切速率與其他物理量的梯度為0，因此膜內(nèi)流場問題是一個二維流體力學問題；其次，膜雖可被壓縮，但其壓應力波的波速遠大于顆粒布朗運動的速度，因此可近似視為不可壓縮流體。這些限制條件皆增加了求解顆粒阻力系數(shù)的難度。Saffman理論使用了2個條件（磷脂分子半徑極?。荒ゐざ冗h大于液體黏度），忽略了兩側(cè)液體對圓柱體上下表面施加的剪切力，得到了阻力系數(shù)關于顆粒無量綱尺寸的一階近似解析解，再由愛因斯坦關系可得到圓柱的擴散系數(shù)。

ηmγrkBTμ1μ2ε式中：為膜的二維黏度，代表了磷脂分子整個膜厚度的總體黏滯阻力效應，因此其單位在常規(guī)黏度單位的基礎上乘以了長度，即Pa·s·m；為歐拉常數(shù)；為圓柱半徑；為玻爾茲曼常數(shù)；為溫度；、分別為膜兩側(cè)液體的黏度。Saffman理論對于半徑大于膜厚度的顆粒（如半徑幾微米的磷脂凝聚顆粒）并不適用。Hughes等在Saffman理論基礎上加入了兩側(cè)液體對圓柱體上下表面的切向力，即為HPW模型，進而討論了非無窮小下的阻力系數(shù)，但未給出解析解。Petrov等隨后給出了HPW模型較為準確的近似解析解，并擬合實驗測量的膜內(nèi)凝聚區(qū)域的擴散系數(shù)，得到磷脂膜二維黏度的量級為10?10～10?9 Pa·s·m。ηmU/γm?1UγmBo=1/εf(Bo)三維球形顆粒穿透膜浸入到液體中的受力問題，較膜內(nèi)圓柱體二維受力問題更為復雜。Danov等數(shù)值計算了顆粒在膜上的運動，假設顆粒做布朗運動，毛細數(shù)（為顆粒速度，為膜表面張力），膜未發(fā)生變形始終保持平展，計算中膜可視作可壓縮流體。

Fischer等改進了Danov的理論，將膜改正為不可壓縮流體，且在膜內(nèi)流場中加入了表面張力梯度項—Marangoni效應，給出了Boussinesq數(shù)極大與極小值的顆粒阻力系數(shù)漸進解。Stone等討論了單層膜系統(tǒng)（膜兩側(cè)分別為空氣與水），將球形顆粒受力分解為膜內(nèi)接觸線阻力與水相浸沒阻力兩部分，前者即為Saffman理論或HPW模型得到的結(jié)果。Stone等利用理論分析的方法，以Saffman理論結(jié)果為零階值，給出了阻力系數(shù)關于顆粒浸沒率的一階近似解，與精確數(shù)值計算結(jié)果誤差小于5%。早期有實驗發(fā)現(xiàn)顆粒在單層膜上的布朗運動阻力系數(shù)明顯大于Fischer與Stone等的理論預測?FL(0)FL(t)?dtFLt值。

2015年，Boniello等提出了界面顆粒布朗運動動力學理論，認為顆粒做布朗運動時，界面在液體分子熱運動的作用下產(chǎn)生微小擾動進而發(fā)生變形，變形幅度僅為液面單個分子尺寸，除水動力學的阻力外，顆粒還受到了來源于變形界面的表面張力。這種界面擾動稱作“熱力學毛細波”。顆粒的總阻力系數(shù)，前者為水動力學阻力系數(shù)，后者為表面張力阻力系數(shù)。結(jié)合熱力學擾動耗散定理，為顆粒受到的瞬時表面張力，為時間。

fcBoniello的理論目前僅在純水界面與幾十微米尺寸的顆粒實驗中得到驗證。本文實驗發(fā)現(xiàn)其同樣適用于亞微米顆粒實驗，但需考慮到單層膜具有與純水界面不同的力學性質(zhì)和亞微米尺度，二者皆體現(xiàn)在表面張力上。首先，膜為黏彈性非牛頓流體，其液面表面張力需考慮黏彈性效應，尤其是在熱力學毛細波109 Hz量級高頻振蕩物理條件下；其次，微納米尺度下的表面張力值通常不同于宏觀尺度下的值，表面張力中含有額外熱力學毛細波波數(shù)項。

實驗結(jié)果顯示，在低密度、均勻相的膜上，由表面張力阻力系數(shù)擬合得到的熱力學毛細波波長約等于膜內(nèi)磷脂分子間的平均間距，符合界面熱力學擾動理論的描述。在高密度、相分離的膜上，顆粒與微米凝聚相粘連，粘連體整體所受阻力幾乎全部源自于微米凝聚相。